| 名师指点：数学中的化归思想 |
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| 作者：未知 文章来源：天津日报报业集团网——津报网 浏览： 更新时间：2008-9-17 |
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实验中学 牛继武（实验中学特级教师，全国百佳一级特色教师。现任尚学教育专职数学教师，曾被天津广播电视中等专业学校评为高中数学课主讲教师，天津市数学会会员。）
化归思想是数学思想之一，化归思想是把未知的问题转化为在已知的知识内可解的问题的一种重要的思想方法。在历年的高考中无论是选择题、填空题还是解答题几乎都要用到化归思想。
化归的目的在于通过不断的转化将不熟悉、不规范、复杂的问题化归为熟悉、规范、模式化、简单的问题。总之，数学中的一切问题的解决都离不开化归思想。
1.函数与方程的化归
例：方程log4x+x=7的解所在区间是（ ）
(A) (1,2) (B) (3,4)
(C) (5,6) (D) (6,7)
分析：这是一道超越方程，无法直接求解，可化归为两个函数y=log4x,y=7-x。求两个函数图像的交点横坐标的范围，作出图像或用零点去求解。
解法一：由log4x+x=7化为log4x=7-x
令y1=log4x,y2=7-x，
作出图像知选(C)，点的横坐标在(5，6)内。
解法二：构造函数F(x)=log4x+x-7
F(5)=log45-2<0
F(6)=log46-1>0
∴F(5)·F(6）<0
因此F(x)在(5，6)内有零点
即方程log4x+x=7在(5，6)内有解
点评：超越方程求解通常化归为函数图像的交点问题。
2.函数与不等式的化归
例：方程ax2+bx-1=0（a,b∈R且a>0）有两个实数根，其中一个根在区间（1，2）内，则a-b的取值范围是（ ）
（A）（-1，+∞） （B）（-∞，-1）
（C）（-∞，1） （D）（-1，1）
分析：将函数转化为不等式组
解：令f(x)=ax2+bx-1,f(x)=0有一个根在（1，2）内并结合二次函数图像可知
f(1)·f(2)=（a+b-1）(4a+2b-1)<0
■
作出满足不等式组的（a,b）所对应的可行域，由线性规划知识，求目标函数z=a-b的最小值-1（当a=0,b=1时），故选A。
点评：利用线性规划求最优解
3.数与形的化归
例：设函数■则使得f(x)1的自变量x的取值范围是（ ）
(A)(-∞,-2]∪[0,10]
(B)(-∞,-2]∪[0,1]
(C)(-∞,-2)∪[1,10]
(D)[-2,0]∪[1,10]
分析：数形化归问题由数量特征构造相应的几何图形，直观、灵活。
解：作出■的图像
作出直线l：y=1
解方程f(x)=1，从图像上得x=-2,0,10故选(A)
点评：通过数与形来确定交点，方法简洁明快。（未完待续）
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